Question

已知函數f（x）=ax²+bx+5，記f（x）的導數為f′（x）．
（I）若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，且x=

2

3

時，y=f（x）有極值，求函數f（x）的解析式；
（II）在（I）的條件下，求函數f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值；
（III）若關于x的方程f’（x）=0的兩個實數根為α、β，且1＜α＜β＜2試問：是否存在正整數n₀，使得|f′(n0)|≤

3

4

？說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出導函數，利用導數在切點處的值為切線斜率及導數在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b．
（II）將a，b的值代入導函數，令導函數為0求出根，列出x，f′（x），f（x）的變化情況的表格，求出最值；
（III）先將二次方程用α，β表示出f（x），利用二次方程的實根分布得到f'（1）＞0，f'（2）＞0，利用基本不等式求出f′（1）•f′（2）的范圍，判斷出f′（1），f′（2）的范圍．

解答：解：f'（x）=3x²+2ax+b（2分）
（I）由題意，得

f′( 2 3 )=3( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3×12+2a×1+b=3

，解得：

a=2 b=-4

所以，f（x）=x³+2x²-4x+5（4分）
（II）由（I）知，f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f'（x）=0，得x1=-2，x2=

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3

∴f（x）在[-4，1]上的最大值為13，最小值為-11．（10分）
（III）∵f'（x）=3（x-α）（x-β），∴f'（1）＞0，f'（2）＞0
f'（1）?f'（2）=9（1-α）（1-β）（2-α）（2-β）
=9（α-1）（β-1）（2-α）（2-β）=9（α-1）（2-α）（β-1）（2-β）
≤9[

(α-1)(2-α)

2

]2[

(β-1)(2-β)

2

]2=

9

16

∴0＜f“(1)≤

3

4

或0＜f′(2)≤

3

4

，所以存在n₁=1或2，使|f′(x0)| ≤

3

4

．

點評：本題考查導數在極值點處的值是0、考查導數在切點處的值是切線的斜率、考查利用導數求函數的最值的步驟、考查二次方程的實根分布、考查基本不等式．