Question

【題目】已知函數 （m＞0）的最大值為2．
（1）求函數，f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；
（2）△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，C=60°，c=3，且 ，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=msinx+ cosx= sin（x+θ）（其中sinθ= ，cosθ= ），

∴f（x）的最大值為 ，

∴ =2，

又m＞0，∴m= ，

∴f（x）=2sin（x+ ），

令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ （k∈Z），解得：2kπ+ ≤x≤2kπ+ （k∈Z），

則f（x）在[0，π]上的單調遞減區間為[ ，π]

（2）解：設△ABC的外接圓半徑為R，由題意C=60°，c=3，得 = = = =2 ，

化簡f（A﹣ ）+f（B﹣ ）=4 sinAsinB，得sinA+sinB=2 sinAsinB，

由正弦定理得： + =2 × ，即a+b= ab①，

由余弦定理得：a2+b2﹣ab=9，即（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，

將①式代入②，得2（ab）2﹣3ab﹣9=0，

解得：ab=3或ab=﹣ （舍去），

則S△ABC= absinC=

【解析】：（1）將f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值為2列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出f（x）的解析式，由正弦函數的遞減區間為[2kπ+ ，2kπ+ ]（k∈Z），列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的單調遞減區間；（2）由（1）確定的f（x）解析式化簡f（A﹣ ）+f（B﹣ ）=4 sinAsinB，再利用正弦定理化簡，得出a+b= ab①，利用余弦定理得到（a+b）2﹣3ab﹣9=0②，將①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
【考點精析】通過靈活運用兩角和與差的余弦公式和兩角和與差的正弦公式，掌握兩角和與差的余弦公式：；兩角和與差的正弦公式：即可以解答此題．