Question

（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（2,0），離心率為，直線y=k（x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N.
①求橢圓C的方程.
②當(dāng)⊿AMN的面積為時(shí)，求k的值.

Answer 1

① .②k=±1.

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓一個(gè)頂點(diǎn)為A （2，0），離心率為 ，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線y=k（x-1）與橢圓C聯(lián)立 y=k(x-1)與，消元可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離，利用△AMN的面積，可求k的值．
解：① 由題意得         a=2
                         =，
，
解得b=.所以橢圓C的方程為.
由②  y=k（x-1）， 得

設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為則
所以
又因?yàn)辄c(diǎn)A（2,0）到直線y=k（x-1）的距離d=
所以⊿AMN的面積為s=∣MN∣.d==，
解得k=±1.
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是正確求出|MN|，通過設(shè)直線與圓錐曲線聯(lián)立方程組得到韋達(dá)定理表示得到線段的長度。