Question

一袋中有m（m∈N^*）個紅球，3個黑球和2個白球，現從中任取2個球．
（1）當m=4時，求取出的2個球顏色相同的概率；
（2）當m=3時，設ξ表示取出的2個球中黑球的個數，求ξ的概率分布及數學期望；
（3）如果取出的2個球顏色不相同的概率小于

2

3

，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是從9個球中任取2個，共有C₉²種結果，滿足條件的事件是取出的2個球的顏色相同，包括三種情況，即兩個紅球，兩個黑球，兩個白球，把三種情況的結果數相加得到滿足條件的結果數，得到概率．
（2）由題意知黑球的個數可能是0，1，2，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式利用同上一問類似的方法，寫出三個變量對應的概率，寫出分布列和期望值．
（3）本題是一個等可能事件的概率，事件發生所包含的事件數C_x+5²，滿足條件的事件是C_x¹C₃¹+C_x¹C₂¹+C₃¹C₂¹，寫出概率，根據所給的條件即概率小于

2

3

，得到關于未知數的不等式，整理解不等式得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
∵試驗發生包含的事件是從9個球中任取2個，共有C₉²=36種結果，
滿足條件的事件是取出的2個球的顏色相同，包括三種情況，共有C₄²+C₃²+C₂²
=10
設“取出的2個球顏色相同”為事件A，
∴P（A）=

10

36

=

5

18

．
（2）由題意知黑球的個數可能是0，1，2
P（ξ=0）=

C 2 5

C 2 8

=

10

28

=

5

14

P（ξ=1）=

15

28

，P（ξ=2）=

3

28

∴ξ的分布列是
∴Eξ=0×

5

14

+1×

15

28

+2×

3

28

=

3

4

．
（3）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
事件發生所包含的事件數C_x+5²，
滿足條件的事件是C_x¹C₃¹+C_x¹C₂¹+C₃¹C₂¹，
設“取出的2個球中顏色不相同”為事件B，則
P（B）=

C 1 x C 1 3 +C 1 x C 1 2 +C 1 3 C 1 2

C 2 x+5

＜

2

3

，
∴x²-6x+2＞0，
∴x＞3+

7

或x＜3-

7

，
x的最小值為6．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查組合數的運算，本題包含的組合數的運算比較繁瑣，注意認真書寫．