Question

【題目】數(shù)列的前項(xiàng)和為，記，數(shù)列滿足，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（1）① 計(jì)算，的值；

② 猜想,滿足的關(guān)系式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；

（2）若數(shù)列通項(xiàng)公式為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）①，；②，證明見解析；（2）見解析

【解析】

(1)①根據(jù)題中給的遞推公式直接計(jì)算,即可.

②由①中可知,,故猜想,再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的方法證明即可.

(2)根據(jù)可求得,再利用(1)中的結(jié)論放縮可得,再構(gòu)造函數(shù)證明其單調(diào)性,再累加證明即可.

（1）①,,

所以,.

②

.

猜想：. (也可以寫成)

1°當(dāng)時(shí),成立；

2°假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,

當(dāng)時(shí),.

綜上1°,2°所述,.

（2）因,所以其前項(xiàng)和.

所以由（1）知.

令,則,所以在上單調(diào)遞減,

又,所以.令,所以,

即,

即,所以.

當(dāng)時(shí),,,……,,

上述個(gè)式子相加,得,

所以,則,即,故.