Question

已知實數a,b滿足：關于x的不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|對一切x∈R均成立
　　（1）驗證a=-2 ,　　 b=-8滿足題意；　　（2）求出滿足題意的實數a，b的值，并說明理由；
　　（3）若對一切x>2，都有不等式x²+ax+b≥（m+2）x-m-15成立，求實數m的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）當a=-2,b=-8時，所給不等式左邊=x²+ax+b|=|x²-2x-8|≤2|x²-2x-8|=|2x²-4x-16|=右邊
　　∴此時所給不等式對一切x∈R成立
　　（2）注意到 2x²-4x-16=0 x²-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 x=-2或x=4　∴當x=-2或x=4時　　 |2x²-4x-16|=0
　　∴在不等式|x²+ax+b|≤|2x²-4x-16|中分別取x=-2，x=4得　
　　又注意到（1）知當a=-2，b=-8時，所給不等式互對一切x R均成立。∴滿足題意的實數a,b只能a=-2,b=-8一組
　　（3）由已知不等式x²-2x-8≥(m+2)x-m-15　　

對一切x>2成立 x²-4x+7≥m(x-1)對一切x>2成立 　　 ①
　　令 　 ②　　則（1） m≤g(x)的最小值　　　　　　　　　　
　　 　　又當x>2時，x-1>0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 （當且僅當 時等號成立）
　　∴g(x)的最小值為6（當且僅當x=3時取得） ③∴由②③得　　 m≤2　　　∴所求實數m的取值范圍為（-∞，2]