Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上有一點Q（2，y₀）到焦點F的距離為

5

2

．
（Ⅰ）求p及y₀的值；
（Ⅱ）如圖，設直線y=kx+b與拋物線交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=2，過弦AB的中點M作垂直于y軸的直線與拋物線交于點D，連接AD，BD．試判斷△ABD的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由拋物線C：y²=2px（p＞0），可得焦點，利用弦長公式可得p．把點Q（2，y₀）代入拋物線方程可得y₀．
（II）把直線的 方程與拋物線方程聯立可得△＞0及根與系數的關系，再利用三角形的面積公式即可得出．

解答：解：（I）由拋物線C：y²=2px（p＞0），可得焦點(

p

2

，0)，
∵拋物線上的點Q（2，y₀）到焦點F的距離為

5

2

．
∴2+

p

2

=

5

2

，p=1．
∴y²=2x，
把Q（2，y₀）代入拋物線方程，解得y₀=±2．
（II）聯立

y=kx+b y2=2x

，得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，
x1+x2=

2(1-kb)

k2

，x1x2=

b2

k2

．
|y1-y2|2=k2|x1-x2|2=k2[(x1+x2)2-4x1x2]=

4(1-2kb)

k2

=4，
∴1-2kb=k²，
M(

1-kb

k2

，

1

k

)，D(

1

2k2

，

1

k

)，
∴△ABC的面積S=

1

2

|MD|•|y1-y2|=

1

2

×|

1-2kb

2k2

|×2=

1

2

．

點評：本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質、弦長公式、直線與拋物線相交問題轉化為△＞0及根與系數的關系、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．