Question

已知函數f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(1)設x＝0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

 

Answer 1

（1）f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增（2）見解析

【解析】（1）f′(x)＝ex－，由x＝0是f(x)的極值點，得f′(0)＝0，所以m＝1，

于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域為{x|x>－1}，

f′(x)＝ex－，

函數f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)上單遞增，

且f′(0)＝0，

因此當x∈(－1,0)時，f′(x)<0；

當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0.

所以f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增．

(2)當m≤2，x∈(－m，＋∞)時，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當m＝2時，f(x)>0，當m＝2時，函數f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)上單調遞增．

又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)上有唯一實根x0，且x0∈(－1,0)．

當x∈(－2，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0，從而當x＝x0時，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0，得ex0＝，即ln(x0＋2)＝－x0，故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝>0.綜上，當m≤2時，f(x)>0.