Question

甲、乙兩個糧庫要向A、B兩鎮運送大米，已知甲庫可調出100t大米，乙庫可調出80噸大米，A鎮需70噸大米，B鎮需110t大米．兩庫到兩鎮的路程和運費如下表：

	路程/km		運費/
	甲庫	乙庫	甲庫	乙庫
A鎮	20	15	12	12
B鎮	25	20	10	8

（1）這兩個糧庫各運往A、B兩鎮多少t大米，才能使總運費最省？此時總運費是多少？
（2）最不合理的調運方案是什么？它使國家造成的損失是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）列出線性約束條件，目標函數，作出可行域，求出最值，可得結論；
（2）求出最大與最小的差，即可得到國家造成的損失．
解答：解：（1）設甲糧庫向A鎮運送xt大米，乙糧庫向A鎮運送yt大米，則甲糧庫向B鎮運送（100-x）t大米，乙糧庫向B鎮運送（80-y）t大米．總運費為z元，線性約束條件為，（2分） 
目標函數為z=20×12x+15×12y+25×10（100-x）+20×8（80-y）=-10x+20y+37800，（4分） 
作出可行域（如圖陰影部分）），（6分）

作直線l：-10x+20y=0，即x-2y=0．
作l的平行直線可知直線過A（70，0）時，z最小，z_min=-10×70+37800=37100（元）．
直線過點B（0，70）時，z最大．z_max=20×70+37800=39200（元）．（8分） 
故從甲糧庫運70t大米到A鎮，30t大米到B鎮，乙糧庫80t大米全部運送到B鎮才能使總運費用最省，此時運費是37100元．（11分）
（2）z_max-z_min=39200-37100=2100（元）最不合理的運送方案是從乙糧庫運送70t大米到A鎮，10t大米到B鎮，甲糧庫的100t大米全部運送到B鎮，它使國家造成的損失是2100元．（13分）
點評：本題考查線性規劃知識的運用，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．