Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD的中點．

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直線CD與平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD．∴PA⊥AB

又 底面ABCD是矩形，

∴AB⊥AD 且PA∩AD=A．

∴AB⊥平面PAD

∴AB⊥PD

∵PA=AD，M是PD的中點，

∴AM⊥PD

又AM∩AB=A

∴PD⊥平面ABM

又PD平面PCD

∴平面ABM⊥平面PCD．

（2）解：由題AB⊥AP，AB⊥AD，AD⊥AP．

分別以AB，AD，AP方向為x、y、z軸建立空間直角坐標系．

∴C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），

M 為PD 中點，∴M（0，2，2）

∴ ， ，

設平面ACM的法向量為

即

取x=2，得法向量

記直線CD與平面ACM所成角為θ，

則 = =

故直線CD與平面ACM所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據面面垂直判定定理，需先證得線面垂直，故證明PD⊥平面ABM．（2）建立空間直角坐標系，運用向量法求解線面所成角．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．