Question

設函數．

（I）證明：是函數在區間上遞增的充分而不必要的條件；

（II）若時，滿足恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析（II）

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）利用是函數在區間上遞增的充分而不必要的條件，分為兩步來證明先證明充分性，再證明不必要性。

（2）求解導數分析導數為零的點，然后借助于導數為正或者為負數時的解集，得到單調增減區間，進而判定函數的極值，得到函數的最值，進而求解參數的范圍。

解：（1）對函數求導，得  ，      …………2分

先證充分性：若，，，

 函數在區間上遞增.                            ……………4分

再說明非必要性:在區間上遞增， ∴對1<x<2恒成立

由得，，而，

所以，即                             …………5分

所以，是函數在區間上遞增的充分而不必要的條件 ……7分

（2） ，令，得  

 顯然，時不符合題意. …………8分

 當時，函數在（）上遞增，在上遞減，

若時，恒成立，需=6

 ，得.                …………………10分

  當時，函數在（）上遞增，在上遞減，

 此時，，如滿足恒成立，

需得  …………12分

故若時，滿足恒成立，實數

                               ------------------------------14分