Question

設a，b，c是互不相等的正數，則在四個不等式：
（1）|a-b|≤|a-c|+|b-c|；     
（2）a2+

1

a2

≥a+

1

a

；
（3）|a-b|+

1

a-b

≥2；         
（4）

a+3

-

a+1

≤

a+2

-

a

其中恒成立的有

（1）（2）（4）

（把你認為正確的答案的序號都填上）

Answer 1

分析：本題主要考查不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全題干，必須結合選擇支，才能得出正確的結論．可運用排除法．

解答：解：（1）：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故（1）恒成立
（2）：由于由于函數f（x）=x+

1

x

在（0，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增
當a＞1時，a²＞a＞1，f（a²）＞f（a）即，a²+

1

a2

＞a+

1

a

，
當0＜a＜1，0＜a²＜a＜1，f（a²）＞f（a）即a²+

1

a2

＞a+

1

a

，
當a=1，a²+

1

a2

＞a+

1

a

．
故（2）恒成立；
（3）：若a-b=-1，則該不等式不成立，故（3）不恒成立；
（4）：由于

a+3

-

a+1

=

2

a+3 + a+1

＜

2

a+2 + a

=

a+2

-

a

．故C恒成立．
故答案為 （1）（2）（4）

點評：本題主要考查了不等式比較大小，基本不等式的應用放縮法證明不等式等．要靈活運用公式，牢記公式a²+b²≥2ab成立的條件．