Question

【題目】已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 詳見解析；(Ⅱ ) 平面與平面所構成的銳二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 在直角梯形ABCD中，由平面幾何知識，又，可證得平面；(Ⅱ ) 建立空間直角坐標系，利用法向量可求出二面角的余弦值．

試題解析：(Ⅰ)證明：在直角梯形ABCD中，可算得

根據勾股定理可得，即：，又，平面；

(Ⅱ) 以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則,，，，作，因為面面，易知，，且，

從平面圖形中可知：，易知面CDE的法向量為

設面PAD的法向量為，且．

解得

故所求平面與平面所構成的銳二面角的余弦值為．