Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知

3 b

sinB

=

a

cosA

．
（I）求角A的大小；
（II）若b=1，△ABC的面積為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由a，b，sinA及sinB，利用正弦定理列出關系式，把已知的等式變形后代入，整理后利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，得到tanA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（II）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把b，sinA及已知的面積代入，求出c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：

b

sinB

=

a

sinA

，
又

3 b

sinB

=

a

cosA

，即

b

sinB

=

3

3

•

a

cosA

，
∴

a

sinA

=

3

3

•

a

cosA

，即

sinA

cosA

=tanA=

3

，
又A為三角形的內角，
則A=

π

3

；
（II）∵b=1，sinA=sin

π

3

=

3

2

，△ABC的面積為

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

c=

3

2

，解得：c=2，
又cosA=cos

π

3

=

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2=3，
則a=

3

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．