Question

（本小題滿分14分）

已知函數.

(1)求證：函數在上是單調遞增函數；

(2)當時，求函數在上的最值；

(3)函數在上恒有成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數在上是單調遞增函數. (2) 的最小值為，此時；無最大值. (3) 的取值范圍是. 

【解析】

試題分析：(1)證明函數在上是單調遞增函數本質就是證明在上恒成立.

（2）當時,令，然后得到極值點，進而求出極值，再與值比較從而得到f(x)的最大值與最小值.

(3) 函數在上恒有成立問題應轉化為,

然后利用導數研究f(x)在區間[1,2]的極值，最值即可求出其最小值，問題得解.

(1)（法一：定義法）

任取且,則.                 ········1分

∵，

∴.                                                  ·······3分

∴ 函數在上是單調遞增函數.                            ········4分

（法二：導數法）

當，

∴ 函數在上是單調遞增函數.                            ········4分

(2) 當時，；

由（1）知函數在上是單調遞增函數.                       ·······5分

∴，即                               ·······7分

∴ 的最小值為，此時；無最大值.                        ·······8分

(3) 依題意， ，即在上恒成立.

∵函數在上單調遞減，∴                   ······11分

∴ ，

又.  ∴

故的取值范圍是.                                            ·······14分

考點：導數在研究函數單調性，極值，最值當中的應用.

點評：（1）連續可導函數在某個區間I上單調遞增（減）等價于在區間I上恒成立.

（2）在求某個區間上的最值時，應先求出極值，然后從極值與區間端點對應的函數值當中找到最大值和最小值.

（3）不等式恒成立問題一般要轉化為函數最值來研究.