Question

（本小題滿分12分）
已知集合A＝{a²，a＋1，－3}，B＝{a－3，a²＋1,2a－1}，若A∩B＝{－3}，
（Ⅰ）求實數a的值．
（Ⅱ）設，求不等式的解集。

Answer 1

（1）a＝－1.（2）(－3,1)∪(3，＋∞)

試題分析：（Ⅰ）　∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B，
∴當a－3＝－3，即a＝0時，A∩B＝{－3,1}，與題設條件A∩B＝{－3}矛盾，舍去；
當2a－1＝－3，即a＝－1時，A＝{1,0，－3}，B＝{－4,2，－3}，
滿足A∩B＝{－3}，綜上可知a＝－1.………………………………6分
（Ⅱ）∵f(1)＝3，∴當x≥0時，由f(x)＞f(1)得x²－4x＋6>3，
∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．
當x＜0時，由f(x)＞3得x＋6＞3∴x＞－3，
∴x∈(－3,0)．
∴所求不等式的解集為： (－3,1)∪(3，＋∞) ……………………12分
點評：解決該試題的關鍵是要利用集合運算的特性：互異性來確定參數a的值。從-3是公共的元素入手來分析，而對于分段函數的不等式的求解，需要對x進行分類討論得到。屬于中檔題。