Question

某種玫瑰花，進貨商當天以每支1元從鮮花批發商店購進，以每支2元售出．若當天賣不完，剩余的玫瑰花批發商店以每支0.5元的價格回收．根據市場統計，得到這個季節的日銷售量X(單位：支)的頻率分布直方圖(如圖所示)，將頻率視為概率．（12分）
 
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)若進貨量為(單位支)，當n≥X時，求利潤Y的表達式；
(3)若當天進貨量n＝400，求利潤Y的分布列和數學期望E(Y)(統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值作為代表)．

Answer 1

(1) a＝0.0015；(2) Y＝1.5X－0.5n；(3) 利潤Y的分布列見解析，E(Y)＝287.5.

解析試題分析：(1)由所給頻率/組距，求出各組的頻率，又頻率和為1，可得a值；（2）當n≥X時，由題中以每支1元從鮮花批發商店購進，以每支2元售出．若當天賣不完，剩余的玫瑰花批發商店以每支0.5元的價格回收，可得Y＝(2－1)X－(n－X)0.5＝1.5X－0.5n；(3)由進貨量n＝40，得X的可能取值，再得Y的可能取值，進一步找出概率，得出分布列，由分布列求出期望.
試題解析：(1)由圖可得100a＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a＝0.0015.—3分
(2)∵n≥X，∴Y＝(2－1)X－(n－X)0.5＝1.5X－0.5n.          6分
(3)若當天進貨量n＝400，依題意銷售量X的可能值為200，300，400，500，
對應的利潤Y分別為100，250，400.利潤Y的分布列為

Y	100	250	400
P	0.20	0.35	0.45

 
所以E(Y)＝100×0.20＋250×0.35＋400×0.45＝287.5(元)．       12分
考點：頻率分布直方圖，離散型隨機變量的概率，分布列，期望.