Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}，若（A∪B）∩C有兩個元素，則a所有取值的集合為

 

．

Answer 1

分析：由題意知集合A，B，C為點集，（A∪B）∩C表示兩直線與圓的交點，因為（A∪B）∩C有兩個元素，利用此條件進行求解．

解答：解：∵集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}，
∴集合A，B表示直線，C表示單位圓，
∴A∪B表示兩條直線上的點，
∴（A∪B）∩C表示兩條直線與圓的交點，
∴

ax+y=1 x2+y2=1

解得

x=0 y=1

，

x= 2a 1+a2 y=1- 2a2 1+a2

，
或

x+ay=1 x2+y2=1

解得

x=1 y=0

，

x= 1-a2 1+a2 y= 2a 1+a2

，
又∵（A∪B）∩C有兩個元素，
∴兩直線只能垂直，
∴a=0，故答案為0．

點評：此題考查圓的性質及集合間的交、并、補運算是高考中的常考內容，要認真掌握，并確保得分．