Question

已知數列{b_n}，若存在正整數T，對一切n∈N^*都有b_n+r=b_n，則稱數列{b_n}為周期數列，T是它的一個周期．例如：
數列a，a，a，a，…①可看作周期為1的數列；
數列a，b，a，b，…②可看作周期為2的數列；
數列a，b，c，a，b，c，…③可看作周期為3的數列…
（1）對于數列②，它的一個通項公式可以是，試再寫出該數列的一個通項公式；
（2）求數列③的前n項和S_n；
（3）在數列③中，若a=2，b=，c=-1，且它有一個形如b_n=Asin（ωn+φ）+B的通項公式，其中A、B、ω、φ均為實數，A＞0，ω＞0，|φ|＜，求該數列的一個通項公式b_n．

Answer 1

解：（1）∵數列a，b，a，b，…可看作周期為2的數列；
∴a_n=等．（3分）
（2）數列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數列，所以當n=3k+1時，；（5分）
當n=3k+2時，；（7分）
當n=3k+3時，（k∈N）．（9分）
（3）由題意，ω＞0，應有，得ω=，（10分）
于是b_n=Asin（n+φ）+B，
把b₁=2，b₂=，b₃=-1，代入上式得（12分）
由（1）（2）可得Acosφ=，再代入（1）的展開式，可得-φ+B=，與（3）聯立得B=，（13分）
Asinφ=-，于是tanφ=-
因為|φ|＜，所以φ=-，（14分）
于是可求得A=．（15分）
故b_n=sin（）+（16分）
分析：（1）根據數列a，b，a，b，…可看作周期為2的數列，可寫出數列的通項；
（2）數列a，b，c，a，b，c，…可看作周期為3的數列，故可分類得出結論；
（3）由題意，ω＞0，應有，得ω=，于是b_n=Asin（n+φ）+B，把b₁=2，b₂=，b₃=-1，代入上式，即可得出結論．
點評：本題考查數列與三角函數的綜合，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，有一定難度．