Question

關于x的方程sin²x+2cosx+a=0有解，則a的取值范圍是

[-2，2]

．

Answer 1

分析：令 t=cosx，t∈[-1，1]，故方程t²-2t-a-1=0 在[-1，1]上有解，再根函數的單調性可得f（-1）≥0，
且f（1）≤0，解不等式求得a的取值范圍．

解答：解：關于x的方程sin²x+2cosx+a=0有解，即-cos²x+2cosx+a+1=0 有解．令 t=cosx，t∈[-1，1]，
故方程t²-2t-a-1=0 在[-1，1]上有解．又函數f（t）=t²-2t-a-1在[-1，1]上單調遞減，
故f（-1）≥0，且f（1）≤0．  即 （-a+2）≥0，且 （-a-2）≤0，∴-2≤a≤2，
故答案為：[-2，2]．

點評：本題考查三角函數的最值，二次函數的性質，得到方程t²-2t-a-1=0 在[-1，1]上有解，是將誒提的關鍵．