Question

給出下列命題，其中正確命題的個數為（　　）
①在區間（0，+∞）上，函數y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三個是增函數；
②命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
③若函數f（x）是偶函數，則f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱；
④已知函數f（x）=

3x-2，      x≤2 log3(x-1)，x＞2

則方程f（x）=

1

2

有2個實數根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①利用函數的單調性進行判斷．②利用含有量詞的否定進行判斷．③利用偶函數的性質，以及函數的平移關系判斷．④利用根的存在性定理進行判斷．

解答：解：①在區間（0，+∞）上，函數y=x^-1為減函數，y=x 

1

2

為增函數，y=（x-1）²不單調，y=x³為增函數，所以增函數有兩個，所以①錯誤．
②根據全稱命題的否定是特稱命題得，￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1，所以②正確．
③若函數f（x）是偶函數，則函數f（x）關于y軸對稱，即x=0對稱，將函數f（x）向右平移1個單位得到f（x-1），此時函數關于x=1對稱，所以③正確．
④當x≤2時，f（x）=3^x-2∈（0，1]，當f（x）=

1

2

時，此時有一解，當x＞2時，f（x）=log₃（x-1）＞0，f（x）=

1

2

時，此時有一解，所以方程f（x）=

1

2

有2個實數根，所以④正確．
故正確的命題有三個．
故選C．

點評：本題主要考查各種命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．