Question

【題目】已知數列滿足：，，其中，數列滿足：

（1）當時，求的值；

（2）證明：對任意均成立，并求數列的通項公式；

（3）是否存在正數，使得數列的每一項均為整數，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）證明見解析，；（3）.

【解析】

（1）根據計算得到，，，再根據與的關系，得到答案；（2）由條件可得，然后得到，兩式相減，從而進行證明，并以根據所證的式子可得到的通項；（3）假設存在正數，由（2）可知，由，得到，再利用數學歸納法進行證明滿足題意.

（1），所以，

時，時

時，

而

所以，，，；

（2）因為，

所以，

所以

下式減上式，得，

整理得

即有，

所以，

，

所以；

（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數，

由（2）可知①，

由，，可得，

當時，為整數，利用，

結合①式，反復遞推，可知每一項均為整數，所以符合題意，

當時，①式變為②

下用數學歸納法證明為偶數，為整數

時，結論顯然成立，

假設時，結論成立，此時為偶數，為整數，

故時，為偶數，為整數，

所以時，命題也成立.

所以數列為整數數列.此時滿足題意.

綜上所述，滿足題意的的取值集合為.