Question

有兩個質點A、B分別位于直角坐標系點（0，0），（1，1），從某一時刻開始，每隔1秒，質點分別向上下左右任一方向移動一個單位，已知質點A向左右移動的概率都是

1

4

，向上移動的概率為

1

3

，向下移動的概率為x；質點B向四個方向移動的概率均為y．
（1）求x和y的值；
（2）試問至少經過幾秒，A、B能同時到達點C（2，1），并求出在最短時間內同時到達點C的概率．

Answer 1

分析：（1）由于質點向四個方向移動的概率之和為1，故質點A為

1

4

+

1

4

+

1

3

+x=1，質點B為 4y=1，解方程可得x和y的值
（2）由于質點A至少需要經過3秒才能到達C點，質點B至少需要1秒才能到達C點，所以至少需要3秒，A，B才能同時到達點C（2，1），質點A經過3秒到達C（2，1）點有三條路徑，但均為向右移動兩步，向上移動一步；質點B經過3秒到達C點有9條路徑，由于A，B相互獨立，所以分別計算概率再相乘即可

解答：解：（1）由已知得：

1

4

+

1

4

+

1

3

+x=1，∴x=

1

6

又由 4y=1得，y=

1

4

（2）質點A至少需要經過3秒才能到達C點，質點B至少需要1秒才能到達C點，所以至少需要3秒，A，B才能同時到達點C（2，1）
質點A經過3秒到達C（2，1）點的概率為3•(

1

4

)2•

1

3

=

1

16

質點B經過3秒到達C點的概率為9(

1

4

)3=

9

64

因為A，B相互獨立，所以它們同時到達C點的概率為

1

16

•

9

64

=

9

1024

點評：本題考察了概率的應用問題，解題時要辨別清楚概率事件的構成及其相互關系，準確運用加法和乘法進行概率運算．