Question

如圖1，在平面內，ABCD是的菱形，ADD``A<sub>1</sub>和CD D`C<sub>1</sub>都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D``與D`重合于點D₁ .設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側（圖2）．

 (Ⅰ) 設二面角E – AC – D₁的大小為q，若£ q £ ，求線段BE長的取值范圍；

(Ⅱ)在線段上存在點，使平面平面，求與BE之間滿足的關系式，并證明：當0 < BE < a時，恒有< 1．

（第20題–1） （第20題–2）

Answer 1

（方法1）設菱形的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別為x,y軸，建立空間直角坐標系如圖1．設BE = t （t > 0） ．

（Ⅰ）

（第20題 – 1 ）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

設平面的法向量為，則

              3分

設平面的法向量為，

則        4分

設二面角的大小為，則，            6分

∵cosq Î，  ∴ ，    

解得 £ t £ ．  所以BE的取值范圍是 [，]．         8分

 (Ⅱ) 設，則

 

由平面平面，得平面，

,化簡得：(t ¹ a)，即所求關系式：（BE ¹ a).

∴當0< t < a時，< 1.  即：當0 < BE < a時，恒有< 1．              14分

（方法2）

（Ⅰ）如圖2，連接D₁A，D₁C，EA，EC，D₁O，EO，

∵ D₁A= D₁C，所以，D₁O⊥AC，同理，EO⊥AC，

∴是二面角的平面角．設其為q．        3分

連接D₁E，在△OD₁E中，設BE = t （t > 0）則有：

OD₁ = ，OE = ，D₁E = ，

∴ .                                  6分

（第20題 – 2）

∵cosq Î，  ∴ ，    

解得 £ t £ ．  所以BE的取值范圍是 [，]．

所以當條件滿足時，£ BE £ ．                 8分

（Ⅱ）當點E在平面A₁D₁C₁上方時，連接A₁C₁，則A₁C₁∥AC，

連接EA₁，EC₁，設A₁C₁的中點為O₁，則O₁在平面BDD₁內，過O₁作O₁P∥OE交D₁E于點P，則平面平面．

作平面BDD₁如圖3．過D₁作D₁B₁∥BD交于l點B₁，設EO交D₁B₁于點Q．

因為O₁P∥OE，所以==，

（第20題 – 3）

由Rt△EB₁Q∽RtEBO，得，解得QB₁ = ，得=，     12分

當點E在平面A₁D₁C₁下方時，同理可得，上述結果仍然成立．       13分

∴有=（BE ¹a），∴當0 < t < a時，< 1.      14分