Question

已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數．當a，b∈[－1，1]，且a＋b≠0時，有＞0．

(Ⅰ)判斷函數f(x)的單調性，并給以證明；

(Ⅱ)(理)若f(1)＝1且f(x)≤m²－2bm＋1對所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：設x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，在＞0中，令a＝x1，b＝－x2， 　　有＞0，∵x1＜x2，∴x1－x2＜0 　　又∵f(x)是奇函數，∴f(－x2)＝－f(x2)∴＞0 　　∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[－1，1]上為增函數． 　　(Ⅱ)解：∵f(1)＝1且f(x)在[－1，1]上為增函數．對x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)＝1．由題意，對所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，f(x)≤m2－2bm＋1恒成立，應有m2－2bm＋1≥1m2－2bm≥0． 　　記g(b)＝－2mb＋m2，對所有b∈[－1，1]，g(b)≥0成立． 　　只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零． 　　若m＞0時，g(b)＝－2mb＋m2是減函數，故在[－1，1]上，b＝1時有最小值，且[g(b)]最小值＝g(1)＝－2m＋m2≥0m≥2； 　　若m＝0時，g(b)＝0這時[g(b)]最小值＝0滿足已知，故m＝0；若m＜0時，g(b)＝－2mb＋m2是增函數，故在[－1，1]上，b＝－1時有最小值，且[g(b)]最小值＝g(－1)＝2m＋m2≥0M≤－2．　　綜上可知，符合條件m的取值范圍是：m∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．