Question

數列{}中，a₁=3，，
(1)求a₁、a₂、a₃、a₄；
(2)用合情推理猜測關于n的表達式(不用證明)；
(3)用合情推理猜測{}是什么類型的數列并證明；
(4)求{}的前n項的和。

Answer 1

(1)3,10,27,68
(2) a_n-n=n2ⁿ
(3)=22^n-1，

試題分析：解：(1) a₁=3， a₂=a₁-1-1=10，a₃=a₂-2-1=27，
a₄=a₃-3-1=68        2分
(2)由(1)，a₁-1=2=12，a₂-2=8=22²，a₃-3=24=32³，a₄-4=64=42⁴，
猜測a_n-n=n2ⁿ，              4分
(3) 由(2)，a_n-n=n2ⁿ，=2ⁿ，因此可推測{}是等比數列   5分證明如下：
 a_n+1=a_n-n-1， a_n+1-(n+1)= a_n-2(n+1)=2(n+1)(-1)，
=2, 而=20, {}是首項為2，公比為2的等比
數列；               8分
(4)由(3)=22^n-1， a_n="n+" n 2ⁿ,            10分
{a_n}的前n項的和: S_n=+12+22²+32³+ +n2ⁿ。
記P=12+22²+32³+ +n2ⁿ，則2P-P= n2ⁿ⁺¹-(2+2²+2³+ +2ⁿ)= (n-1)2ⁿ⁺¹+2
 P=(n-1)2ⁿ⁺¹+2,  S_n=+(n-1)2ⁿ⁺¹+2.           13分
點評：解決的關鍵是能根據遞推關系來歸納猜想來得到數列的通項公式的特點，進而分析證明，屬于基礎題。