Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）圖象過點P（1，2），且f（x）在點P處的切線與直線y=8x+1平行．
（1）求a，b的值
（2）若f(x)≤m+

5

m

在[-1，1]上恒成立，求正數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）在點P（1，2）處的切線與直線y=8x+1平行建立兩個等式關系，f'（1）=8，f（1）=2，解方程組即可求出a與b的值；
（2）將f(x)≤m+

5

m

在[-1，1]上恒成立轉化成f（x）max≤m+

5

m

，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，然后解不等式f（x）max≤m+

5

m

，即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+6（1分）
由已知得

f(1)=2 f′(1)=8

1+a+b=2 3+2a+b=8

（3分）
解得

a=4 b=-3

∴f（x）=x³+4x²-3x（5分）
（2）由已知只須f（x）max≤m+

5

m

（6分）
f′（x）=3x²+8x-3
令f′（x）＞0解得x＞

1

3

或x＜-3
則f（x）在（

1

3

，+∞）和（-∞，3）上單調遞增
令f′（x）＜0，解得-3＜x＜

1

3

則f（x）在（-3，

1

3

）上單調遞減（8分）
∴f（x）在[-1，

1

3

]上單調遞減
在[

1

3

，1]上單調遞增：
f（-1）=-1+4+3=6
f（1）=1+4-3=2
∴f（x）max=6．（10分）
則m+

5

m

≥6，由m＞0，得m²-6m+5≥0，解得m≥5或0＜m≤1（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及函數恒成立問題等基礎題知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想，屬于基礎題．