Question

在△OAB中，O為坐標原點，A（1，cosθ），B（sinθ，1），θ∈(0，

π

2

]，則當△OAB的面積達最大值時，則θ=

π

2

．

Answer 1

分析：根據題意在平面直角坐標系中，畫出單位圓O，單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，角θ如圖所示，所以三角形AOB的面積就等于正方形OMPN的面積減去三角形OAM的面積減去三角形OBN的面積，再減去三角形APB的面積，分別求出各自的面積，利用二倍角的正弦函數公式得到一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域及角度的范圍即可得到三角形面積最大時θ所取的值．

解答：解：如圖單位圓O與x軸交于M，與y軸交于N，
過M，N作y軸和x軸的平行線交于P，
則S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP
=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ
因為θ∈（0，

π

2

]，2θ∈（0，π]，
所以當2θ=π即θ=

π

2

時，sin2θ最小，
三角形的面積最大，最大面積為

1

2

．
故答案為：

π

2

點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦函數公式化簡求值，利用運用數學結合的數學思想解決實際問題，掌握利用正弦函數的值域求函數最值的方法，是一道中檔題．