Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．
（1）求證AC⊥PB；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AC⊥PB，可以通過證明AC⊥面PDB實現，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD證得．
（2）求出A到平面PBC的距離為h（可以利用等體積法），再與PA作比值，即為PA與平面PBC所成角的正弦值．

解答：（1）證明∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，
∵PB?面PDB∴AC⊥PB．
（2）解：設PD=AD=1，設A到平面PBC的距離為h，
則由題意PA=PB=PC=

2

，S_△ABC=

1

2

×

3

×

1

2

=

3

4

在等腰△PBC中，可求S_△PBC=

1

2

×1×

( 2 )2- ( 1 2 )2

=

7

4

∴V _A-PBC=V _P-ABC，

1

3

×h×

7

4

=

1

3

×1×

3

4

，h=

21

7

∴sinθ=

h

PA

=

21 7

2

=

42

14

點評：本題考查空間直線和直線垂直的判定．線面角求解．考查空間想象、推理論證能力．