Question

如圖，F₁、F₂是橢圓C₁與雙曲線C₂：

x2

2

-y2=1的公共焦點，A、B分別是C₁與C₂在第二、四象限的公共點．若四邊形AF₁BF₂為矩形，則C₁的離心率是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  1

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：解：設|AF₁|=x，|AF₂|=y，由已知條件列出方程組

y-x=2 2 x2+y2=12

，由此能求出橢圓的定義和性質能求出橢圓C₁的離心率．

解答：解：設|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點A為雙曲線C₂：

x2

2

-y2=1上的點，
∴2a=2

2

，b=1，c=

3

；
∴|AF₂|-|AF₁|=2a=2

2

，即y-x=2

2

；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，即x²+y²=（2c）²=（2

3

）²=12，②
由①②得：

y-x=2 2 x2+y2=12

，解得x=2-

2

，y=2+

2

，
設橢圓C₁的實軸長為2m，焦距為2n，
則2m=|AF₁|+|AF₂|=x+y=4，2n=2

4-1

=2

3

，
∴橢圓C₁的離心率e=

n

m

=

3

2

．
故選：C．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，考查橢圓與雙曲線的簡單性質，求得|AF₁|與|AF₂|是關鍵，考查分析與運算能力．