Question

【題目】已知正項等比數列的前項和為，首項，且，正項數列滿足，.

（1）求數列，的通項公式；

（2）記，是否存在正整數，使得對任意正整數，恒成立？若存在，求正整數的最小值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）先設等比數列的公比為，根據題中條件，求出公比，即可得出的通項公式；再由累乘法求出，根據題中條件求出，代入驗證，即可得出的通項公式；

（2）先由（1）化簡，根據，求出的最大值，進而可得出結果.

解：（1）設等比數列的公比為，

由，得，

又，則，

所以.

，由，得

，，…，，

以上各式相乘得：，所以.

在中，分別令，，得，滿足.

因此.

（2）由（1）知，，

∴，

又∵，

∴，

令，得，

∴，解得，

∴當時，，即.

∵當時，，，

∴，即.

此時，即，

∴的最大值為.

若存在正整數，使得對任意正整數，恒成立，則，

∴正整數的最小值為4.