Question

設f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導函數為f′（x），且對任意正數x均有f′（x）＞

f(x)

x

，
（Ⅰ）判斷函數F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）設x₁，x₂∈（0，+∞），比較f（x₁）+f（x₂）與f（x₁+x₂）的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）先求出F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x

，然后根據條件對任意正數x均有f′（x）＞

f(x)

x

，確定出F′（x）的符號，得到函數在（0，+∞）上的單調性；
（II）根據F（x）在（0，+∞）上是增函數得到F（x₁）＜F（x₁+x₂），化簡變形可得（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂），同理可得（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂），將兩式相加即可判定出f（x₁）+f（x₂）與f（x₁+x₂）的大小．

解答：解：（Ⅰ）由于f′（x）＞

f(x)

x

得，

xf′(x)-f(x)

x

＞0，而x＞0，
則xf′（x）-f（x）＞0，
則F′（x）=

xf′(x)-f(x)

x

＞0，因此F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數．（6分）
（Ⅱ）由于x₁，x₂∈（0，+∞），則0＜x₁＜x₁+x₂，
而F（x）=

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數，
則F（x₁）＜F（x₁+x₂），即

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
∴（x₁+x₂）f（x₁）＜x₁f（x₁+x₂）（1），（9分）
同理（x₁+x₂）f（x₂）＜x₂f（x₁+x₂）（2）（11分）
（1）+（2）得：（x₁+x₂）[f（x₁）+f（x₂）]＜（x₁+x₂）f（x₁+x₂），而x₁+x₂＞0，
因此f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）（14分）

點評：本題主要考查了導數在最大值、最小值問題中的應用，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，屬于基礎題．