Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），A（﹣a，0），B（0，﹣b），P為C上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，PA交y軸于點(diǎn)E，PB交x軸于點(diǎn)F.

（1）探究四邊形AEFB的面積是否為定值，說明理由；

（2）當(dāng)△PEF的面積達(dá)到最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）面積為定值，詳見解析（2）

【解析】

（1）設(shè)，寫出直線方程求出坐標(biāo)，計(jì)算面積可得定值；

（2）求出到直線的距離，由（1）知面積最大時(shí)，面積最大，從而只要最大即可，，由在橢圓上，利用基本不等式可得的最大值，從而得出結(jié)論．

（1）設(shè)P（x0，y0），四邊形AEFB的面積為定值，證明如下：

則PA的方程為，可得，故，

同理可得，，

從而四邊形AEFB的面積為ab，

所以四邊形AEFB的面積為ab.

（2）由題設(shè)知直線AB：bx+ay+ab＝0，

點(diǎn)P到AB的距離為d，則，

由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，△PEF的面積最大，所以當(dāng)d取最大值時(shí)，△PEF的面積最大，

由于P在C上，故，可得，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.