Question

已知定點A（-l，0），動點B是圓F：（x-1）²+y²=8（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交線段BF于點P．
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）是否存在過點E（0，2）的直線l交動點P的軌跡于點R、T，且滿足（O為原點），若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意得 圓心F（1，0），半徑等于2，|PA|=|PB|，
∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半徑2＞|AF|，故點P的軌跡是以A、F 為焦點的橢圓，
2a=2，c=1，∴b=1，∴橢圓的方程為 ．
（II） 設存在滿足條件的直線l，則直線l的斜率存在，設直線l的方程為 y=kx+2，設 R （x₁，y₁ ），
T（x₂，y₂），∵，∴x₁x₂+y₁y₂=0 ①．
把線l的方程 y=kx+2代入橢圓方程化簡可得 （2k²+1）x²+8kx+6=0，∴x₁+x₂=，
x₁x₂=，∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）+2k +4==0，
∴k= 或-．滿足△＞0，故存在滿足條件的直線l，其方程為 y=± x=2，
即 x-y+2=0，或 x+y-2=0．
分析：（I）利用橢圓的定義判斷點P的軌跡 是以A、F 為焦點的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．
（II） 設存在滿足條件的直線l：y=kx+2，代入橢圓方程化簡，利用根與系數的關系以及 ，解方程求出斜率 k，從而求得直線l的方程．
點評：本題考查用定義法求點的軌跡方程，兩個向量的數量積公式，一元二次方程根與系數的關系，求直線l的斜率是解題
的難點．