Question

已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩個焦點為F₁，F₂，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求動點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設過M（3，0）的直線l交軌跡E于A、B兩點，求以線段OA，OB 為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點P的軌跡方程；
（Ⅲ）（理）設C（a，0），若四邊形CAGB為菱形（A、B意義同（Ⅱ）），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）因為動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，利用橢圓定義，可知動點P的軌跡為橢圓，且該橢圓以F₁、F₂為焦點，長軸為4，再利用橢圓方程的求法求出．
（Ⅱ）用消參法來求即可，可先設過M（3，0）的直線l方程為y=k（x-3），于橢圓方程聯立，得到含A，B點坐標的方程，再根據P是以線段OA，OB 為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點，則點P坐標（x，y）滿足x=x₁+x₁，y=y1+y₂，消去參數，即可求出點P的軌跡方程．
（Ⅲ）要想滿足四邊形CAGB為菱形，只需|CA=CB，即C點在線段AB中垂線上時，由（Ⅱ）得，x₁+x₁，y1+y₂用參數k表示，則線段線段AB中點D坐標可用k表示，再帶參數求直線AB的垂直平分線方程，垂直平分線于x軸的交點為C點，用k表示，再求范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線的方程可化為

x2

2

-y2=1，則|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

 
∴P點的軌跡E是以F₁、F₂為焦點，長軸為4的橢圓         
由a=2，c=

3

， ∴b=1； 
∴所求軌跡方程為 

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），過M（3，0）的直線l方程為y=k（x-3）
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

  得 （1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0，△＞0，即k²＜

1

5

時，x₁+x₂=

24k2

1+4k2

  x₁x₂=

36k2-4

1+4k2

又設動點P（x，y），則

x=x1+x2=  24k2 1+4k2 y=y1+y2=k(xx+x2)-6k

消去參數k，得P點軌跡方程為x²+4y²-6x=0 
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，線段AB中點D坐標為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即D（

12k2

1+4k2

，

-3k

1+4k2

）
過點D垂直于AB的直線方程為y-

-3k

1+4k2

=-

1

k

（x-

12k2

1+4k2

）
令y=0，得 x=

9k2

1+4k2

依題意，當CA=CB，即C點在線段AB中垂線上時，四邊形CAGB為菱形，
∴a=

9k2

1+4k2

  （k²＜

1

5

）
∴a的取值范圍為（0，1）

點評：本題考查了橢圓定義，消參法求軌跡方程一擊直線與橢圓位置關系的應用，計算量較大，做題時應用心．