Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，，并且函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，，，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；

（3）若，都不為0，記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)，是曲線上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn).試問：曲線在點(diǎn)處的切線是否平行于直線？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)的值域是，當(dāng)的值域是，當(dāng)的值域是；（3）曲線在點(diǎn)處的切線不平行于直線，理由詳見解析.

【解析】

（1）只需在上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)根的判別式，即可求解；

（2）求導(dǎo)，對(duì)分類討論，求出在單調(diào)性，進(jìn)而求出極值最值，即可得出結(jié)論；

（3）由已知得到點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求出的斜率，再由導(dǎo)數(shù)得到曲線在處的斜率，由斜率相等，設(shè)，得到，令，后構(gòu)造函數(shù)，判斷是否存在零點(diǎn)，即可得出結(jié)論.

（1），

當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是單調(diào)增函數(shù)，

在上恒成立，

，

實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)，，時(shí)，

，

當(dāng)，

單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減，

當(dāng)，，

，當(dāng)，

，

當(dāng)，

綜上，當(dāng)的值域是，

當(dāng)的值域是，

當(dāng)的值域是；

（3），都不為0時(shí)，點(diǎn)橫坐標(biāo)為

函數(shù)，

，曲線在處的切線斜率為

，

直線的斜率為，

則

，

假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則，

即，

不妨設(shè)，則，

令，

時(shí)恒成立，

所以在上是增函數(shù)，又，

，即在上不成立，

曲線在點(diǎn)處的切線不平行直線.