Question

（1）已知，求證：；
（2）已知，且，
求證：．

Answer 1

證明見解析.

試題分析：（1）本題證明只要利用作差法即可證得；（2）這個不等式比較復雜，考慮到不等式的形式，我們可用數學歸納法證明，關鍵在時的命題如何應用時的結論，中要把兩個括號合并成一個，又能應用時的結論證明時的結論，當時，結論已經成立，當時，在中可找到一個，不妨設為，使，即，從而有
，這樣代入進去可證得時結論成立.
（1）因為，所以，即；             2分
（2）證法一（數學歸納法）：（ⅰ）當時，，不等式成立．      4分
（ⅱ）假設時不等式成立，即成立.    5分
則時，若，則命題成立；若，則中必存在一個數小于1，不妨設這個數為，從而，即．同理可得，
所以



 
故時，不等式也成立．                           9分
由（ⅰ）（ⅱ）及數學歸納法原理知原不等式成立.                    10分
證法二：（恒等展開）左右展開，得

由平均值不等式，得
                            8分
故

．                                  10分