Question

如圖，由n²個數組成的方陣中，自左向右每一行都構成等差數列，設第1，2，…，n行的公差依次為d₁，d₂，…，d_n．方陣中自上而下每一列組成公比均相同的等比數列，已知a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2．
（1）求d₄及a₄₄的值；
（2）若n=6，求方陣中所有數的和S．

Answer 1

分析：（1）仔細觀察圖表，由題設條件結合等差和等比數列的性質，即可能求出求出d₄及a₄₄的值．
（2）由圖表中的規律，a₁₃=3，a₁₄=4，a₁₅=5，a₁₆=6，設第1列，第2列，…，第6列的和分別為S₁，S₂，S₃，…，S₆從而由已知每一列組成公比為q=2的等比數列，由此利用等比和等差數列的求和公式能求出方陣中所有數的和S．

解答：解：設每一列組成的等比數列的公比為q
（1）q=

a21

a11

=2，a41=a11q3=8，a42=a21q3=16，…（3分）
d₄=a₄₂-a₄₁=8a₄₄=a₄₁+3d₄=32…（6分）
（2）a₁₃=3，a₁₄=4，a₁₅=5，a₁₆=6
設第1列，第2列，…，第6列的和分別為S₁，S₂，S₃，…，S₆
由已知每一列組成公比為q=2的等比數列，
故S=S1+S2+…+S6=

a11(1-26)

1-2

+

a12(1-26)

1-2

+…+

a16(1-26)

1-2

=63(a11+a12+…+a16)=63×

6(1+6)

2

=1323…（12分）

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，考查推理論證能力，考查等價轉化思想，考查計算能力，考查等差數列和等比數列的性質，解題時要注意求和公式的合理運用．