Question

【題目】橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，與軸正半軸交于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線：與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，求證：的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)分析可得，又由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，進(jìn)而可得的值，將的值代入橢圓的方程即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分、兩種情況討論，若直線的斜率不存在，容易求出的面積，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求出的面積消去參數(shù)，綜合兩種情況可得結(jié)論.

詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓圓所截得的弦長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，則.

若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，

即，則，，，

由題意點(diǎn)為重心，設(shè)，則，

所以，，代入橢圓，得

，整理得，

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積

.

綜上可得的面積為定值.