Question

已知命題p：不等式|x-4|+|x-3|＜m在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，命題q：f（x）=-（5-2m）^x是增函數(shù)，若p，q中有且僅有一個(gè)為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

(1，2]∪[

5

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：若命題p是真命題，可求出m＞1，若命題q是真命題，可求出2＜m＜

5

2

．由題意可得m＞1和2＜m＜

5

2

 中只能
有僅有一個(gè)成立，從而得到 m的取值范圍．

解答：解：若命題p是真命題，由于|x-3|+|x-4|的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x 到3和4的距離之和，
當(dāng)x在3、4之間時(shí)，這個(gè)距離和最小，是1，其它情況都大于1．
所以|x-3|+|x-4|≥1，
如果不等式|x-4|+|x-3|＜m 的解集不是空集，所以 m＞1．
若命題q是真命題，即f（x）=-（5-2m）^x是增函數(shù)，則 0＜5-2m＜1，解得 2＜m＜

5

2

．
由于p，q中有且僅有一個(gè)為真命題，故m＞1 和2＜m＜

5

2

 中只能有僅有一個(gè)成立，
∴1＜m≤2，或 m≥

5

2

．
故答案為 (1，2]∪[

5

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的幾何意義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷m＞1 和2＜m＜

5

2

 中只能有僅有一個(gè)成立，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．