Question

（2011•資中縣模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n=2ⁿ；{b_n}為首項是2的等差數(shù)列，且b₃•S₅=372．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）設{b_n}的前n項和為T_n，求

1

T1

+

1

T2

+…

1

Tn

的值．

Answer 1

分析：（1）由a_n=2ⁿ，知{a_n}是首項為2公比為2的等比數(shù)列．由此能求出S₅，再由b₃•S₅=372，能求出b₃．由{b_n}為首項是2的等差數(shù)列，能求出b_n．
（2）由b_n，知Tn=

(2+2n)n

2

=n(n+1)，

1

Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由裂項求和法能求出

1

T1

+

1

T2

+…

1

Tn

=的值．

解答：解：（1）∵a_n=2ⁿ，
∴{a_n}是首項為2公比為2的等比數(shù)列．
∴S5=

2(1-25)

1-2

=26-2=62…（2分）
又∵b₃•S₅=372，
∴b₃=6，…（3分）
∵{b_n}為首項是2的等差數(shù)列．
∴b₃=2+2d=6，
∴d=2，…（4分）
∴b_n=2+2（n-1）=2n（n∈N^*）．…（6分）
（2）∵b_n=2n，
∴Tn=

(2+2n)n

2

=n(n+1)…（8分）
∴

1

Tn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（10分）
∴

1

T1

+

1

T2

+…

1

Tn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和求數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化，注意裂項求和法的靈活運用．