Question

（本小題滿分13分）

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁.
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ,二面角A₁-BC-A的大小為φ．判斷θ與φ的大小關系，并予以證明.

Answer 1

（Ⅰ）證明：如右圖，過點A在平面A₁ABB₁內作

AD⊥A₁B于D，則
由平面A₁BC⊥側面A₁ABB₁,且平面A₁BC側面A₁ABB₁=A₁B,得
AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，
所以AD⊥BC. ……………………………………………………...2分
因為三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．……………………………………………..……..…3分
又AA₁AD=A,從而BC⊥側面A₁ABB₁，
又AB側面A₁ABB₁，故AB⊥BC. ………………………..…...4分
（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，……………………………………….………………...6分
是二面角A₁—BC—A的平面角，即
于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，…...8分
由AB＜AC，得………………………………….……...11分
又所以．…………………………………………....13分