Question

【題目】以直角坐標系的原點為極點，以軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的長度單位，已知直線的參數方程為（為參數，），曲線的極坐標方程為．

（1）若，求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）設直線與曲線相交于，兩點，當變化時，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)，.(2).

【解析】分析：（1）將代入到直線的參數方程，消去即可得直線的普通方程，再根據，即可求得曲線的直角坐標方程；（2）將直線的參數方程代入到曲線的直角坐標方程，根據韋達定理可得，，結合參數的幾何意義及三角函數的圖象與性質即可求得的最小值．

詳解：（1）當時，由直線的參數方程消去得，即直線的普通方程為；

因為曲線過極點，由，得，

所以曲線的直角坐標方程為．

（2）將直線的參數方程代入，得.

由題意知，設，兩點對應的參數分別為，，則，.

∴ ．

∵，，.

∴當，即時，的最小值為．