Question

（1）sin210°+cos240°+sin10°•cos40°=

3

4

；
（2）sin26°+cos236°+sin6°•cos36°=

3

4

；
（3）sin222°+cos252°+sin22°•cos52°=

3

4

．
（4）sin215°+cos245°+sin15°•cos45°=

3

4

．
由上面各題的結構規律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想？

Answer 1

分析：考察四個等式，每個等式中兩個角的關系都大角與小角的差是30°，由它們的形式可以猜想sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

，再由三角函數的公式證明結論即可．

解答：解：考察四個等式發現，每個等式中兩個角的關系都大角與小角的差是30°
由此猜想sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

，證明如下：

sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α) =sin2α+( 3 2 cosα- 1 2 sinα)2+sinα•( 3 2 cosα- 1 2 sinα) =sin2α+ 1 4 sin2α- 1 2 sin2α+ 3 4 cos2α- 3 2 sinαcosα+ 3 2 sinαcosα = 3 4 (sin2α+cos2α) = 3 4

故有sin2α+cos2(30°+α)+sinα•cos(30°+α)=

3

4

點評：本題考查歸納推理及三角恒等變換，解題的關鍵是歸納出四個方程的共性，從而猜想出結論，再由三角函數的相關公式給出證明，本題有一定的探究性，屬于中檔題，考查了分析歸納的能力