Question

已知a為正實數，n為自然數，拋物線與x軸正半軸相交于點A，設f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距。
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求對所有n都有成立的a的最小值；
（3）當0＜a＜1時，比較與的大小，并說明理由

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸正半軸相交于點A，
∴A（）
對求導得y′=-2x
∴拋物線在點A處的切線方程為，
∴
∵f（n）為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距，
∴f（n）=aⁿ；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，則成立的充要條件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1對所有n成立，特別的，取n=2得到a≥
當a=，n≥3時，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+
=1+2n³+＞2n³+1
當n=0，1，2時，
∴a=時，對所有n都有成立
∴a的最小值為；
（3）由（1）知f（k）=a^k，下面證明：
首先證明：當0＜x＜1時，
設函數g（x）=x（x²-x）+1，0＜x＜1，
則g′（x）=x（x-）
當0＜x＜時，g′（x）＜0；
當時，g′（x）＞0
故函數g（x）在區間（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=0
∴當0＜x＜1時，g（x）≥0，
∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
從而=≥
=＞=。