Question

某企業2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業的生產能力逐年下降，若不進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元.今年初該企業一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年(今年為第1年)的利潤為500(1+)萬元(n為正整數).

(1)設從今年起的前n年，該企業不進行技術改造的累計純利潤為A_n萬元，進行技術改造后的累計純利潤為B_n萬元(要扣除技術改造資金)，求A_n、B_n的表達式；

(2)依上述預測，從今年起該企業至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

Answer 1

略解：(1)A_n=490n-10n²,B_n=500n--100.

(2)B_n-A_n=10［n(n+1)--10］.

    通過考察函數y=x(x+1)--10在(0,+∞)上的單調性，得出當n≥4時，n(n+1)--10≥20--10＞0,即僅當n≥4時，B_n＞A_n.