Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是線段AC的中點．
（1）判斷直線B₁P與平面A₁C₁D的位置關系并證明；
（2）若F是CD的中點，AB=BC=1，且四面體A₁C₁DF體積為

2

12

，求三棱錐F-A₁C₁D的高．

Answer 1

分析：（1）B₁P∥平面A₁C₁D．連接AB₁與B₁C，由題設條件知：四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，由此能夠證明B₁P∥平面A₁C₁D．
（2）設DD₁=a，F到平面A₁C₁D的距離為h，由VF-A1DC1=VA1-DFC1，得a=

2

，由此能夠求出點F到平面A₁C₁D的距離．

解答：解：（1）B₁P∥平面A₁C₁D．
證明：連接AB₁與B₁C，
由題設條件知：四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AC，同理A₁D∥B₁C，

∵AB₁∩B₁C=B₁，
∴平面ACB₁∥平面A₁C₁D，
∴B₁P∥平面A₁C₁D．
（2）設DD₁=a，F到平面A₁C₁D的距離為h，
由VF-A1DC1=VA1-DFC1=

1

3

AD•S△C1DF=

1

3

×1×

a

4

=

2

12

，
a=

2

，
作DN⊥A₁C₁于N，
∵A₁C₁=

2

，C1D=

1+a2

，
∴DN=

1+a2- 1 2

=

1+a2- 1 2

=

1 2 +a2

=

5 2

，
由VF-A1DC1=

h

3

•S△A1DC1=

h

3

×

1

2

×

2

×

5 2

=

2

12

，
∴h=

10

10

，
∴點F到平面A₁C₁D的距離是

10

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法．解題時要認真審題，仔細解答，合理地化空間問題為平面問題．