Question

有下列四個命題：
（1）函數f(x)=

1

lgx

在（0，1）∪（1，+∞）上是減函數；
（2）不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[

2

2

，1]；
（3）已知數列{a_n}的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，則數列{a_n}一定是等比數列；
（4）過點M（2，4）作拋物線y²=8x的切線，則切線方程可以表示為：y=x+2．
則正確命題的序號為

（3）（4）

．

Answer 1

分析：根據函數的單調性是一個局部性質，結合函數單調區間的確定方法可以判斷（1）的真假；根據反正弦函數和么余弦函數的圖象，我們可以求出arcsinx≤arccosx的解集，進而判斷出（2）的真假；根據數列{a_n}的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，我們易求出數列{a_n}的通項公式，進而判斷出（3）的真假；設出切線方程，然后代入拋物線方程，根據直線與拋物線相切，聯立所得的方程只有一解，可根據△=0，求出k值，進而確定切線的方程，判斷出（4）的真假．

解答：解：函數f(x)=

1

lgx

在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是減函數，但在（0，1）∪（1，+∞）上不具備單調性，故（1）錯誤；
不等式：arcsinx≤arccosx的解集為[-1，

2

2

]，故（2）錯誤；
∵數列{a_n}的前n項和為S_n=1-（-1）ⁿ，n∈N^*，數列a_n=2•（-1）^n-1，故數列{a_n}一定是等比數列，故（3）正確；
設過點M（2，4）的拋物線y²=8x的切線為y=k（x-2）+4，聯立方程可解得k=0（舍去）或k=1，則切線方程為：y=x+2，故（4）正確；
故答案為：（3）（4）

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數單調性的判斷與證明，反三角函數的圖象和性質，等比數列的確定，直線和圓錐直線的關系，其中（1）中易忽略函數單調性為局部性，而誤判為正確．