Question

如圖，三棱錐P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD平面PAB．

   (I) 求證：AB平面PCB；

   (II) 求異面直線AP與BC所成角的大小；

（III）求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

(1)證明見解析(2)  (3) arcsin

解析:

解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，

∴PCAB．…………………………2分

∵CD平面PAB，平面PAB，

∴CDAB．…………………………4分

又，

∴AB平面PCB．  …………………………5分

(II) 過點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC，連結(jié)PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角．………6分

由（Ⅰ）可得AB⊥BC，

∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………………………9分

（III）取AP的中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂線定理的逆定理，得  DE PA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分

由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．

　　在中，PB=，

    ．

    在中， sin∠CED=．

∴二面角C-PA-B的大小為arcsin．……14分

解法二：（I）同解法一．

(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系．

則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………7分

    則+0+0=2．

    == ．

   ∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………10分

（III）設(shè)平面PAB的法向量為m= (x，y，z)．

，，

則   即

解得   令= -1,  得 m= (，0，-1)．

   設(shè)平面PAC的法向量為n=()．

，，

 則   即

解得   令=1,  得 n= (1，1，0)．……………………………12分

    =．

    ∴二面角C-PA-B的大小為arccos．………………………………14分