Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱垂直于底面,AC=BC,點D是AB的中點．

(1)求證：BC₁∥平面CA₁D；
(2)求證：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
(3)若底面ABC為邊長為2的正三角形，BB₁=求三棱錐B₁-A₁DC的體積．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）1.

試題分析：證明（1）連接AC₁交A₁C于點E，連接DE
因為四邊形AA₁C₁C是矩形，知E為AC₁的中點
又D是AB的中點，得到DE∥BC₁，
從而可得BC₁∥面CA₁.
證明（2）由AC=BC，D是AB的中點，得AB⊥CD，
由AA₁⊥面ABC，得AA₁⊥CD，
從而CD⊥面AA₁B₁B，進一步得平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B.
（3）利用，可求得體積.
試題解析：證明（1）連接AC₁交A₁C于點E，連接DE
因為四邊形AA₁C₁C是矩形，則E為AC₁的中點
又D是AB的中點，DE∥BC₁，
又DE面CA₁D，BC₁面CA₁D，BC₁∥面CA₁    (４分)
證明（2）AC=BC，D是AB的中點，AB⊥CD，
又AA₁⊥面ABC，CD面ABC，AA₁⊥CD，
AA₁∩AB=A，CD⊥面AA₁B₁B，CD面CA₁D，
平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B        (８分)

（3）解：,則（2）知CD⊥面ABB₁B，所以高就是CD=，BD=1，BB₁=，所以A₁D=B₁D=A₁B₁=2,,      (1２分)